Лабораторная работа № 2
2026-02-24
Показать, как на основе математической модели выбрать стратегию поиска и перехвата при неопределённости направления движения цели.
Сюжет: в условиях тумана катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. На короткое время видимость улучшается, и лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера. Затем она снова исчезает и уходит прямолинейно в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера равна \(n\) скоростям лодки. Необходимо определить траекторию катера, обеспечивающую перехват.
Положим \(t_0 = 0\).
В момент обнаружения:
Используем полярные координаты:
Найдём расстояние \(x\), при котором катер и лодка окажутся на одном и том же радиусе относительно полюса.
За время \(t\) лодка проходит путь \(x\), а катер — \(x-k\) либо \(x+k\) (зависит от взаимного расположения относительно выбранной оси).
Из равенства времён и соотношения скоростей получаются два режима старта:
Далее катер движется так, чтобы радиальная составляющая его скорости совпадала со скоростью лодки, а оставшаяся часть шла на «обход» направления (тангенциально).
Исключая параметр времени \(t\), получаем уравнение траектории:
\[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]
Следствие: в полярных координатах траектория катера имеет вид экспоненциально расходящейся спирали.
Задано:
Требуется: построить траектории катера и лодки и по их пересечению определить момент перехвата.
Наблюдения:
Ключевые отличия от case=plus:
Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент «раскрытия» спирали по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\), поэтому:
Введём показатель относительного масштаба:
\[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]
Интерпретация:
В режиме case=minus значения, как правило, выше из-за большего стартового радиуса.
Итоги бенчмаркинга: