Цель работы

Показать, как на основе математической модели выбрать стратегию поиска и перехвата при неопределённости направления движения цели.

Сюжет: в условиях тумана катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. На короткое время видимость улучшается, и лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера. Затем она снова исчезает и уходит прямолинейно в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера равна \(n\) скоростям лодки. Необходимо определить траекторию катера, обеспечивающую перехват.

Задание

1. Выполнить вывод дифференциальных уравнений при условии, что скорость катера больше скорости лодки в \(n\) раз.
2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
3. По графику определить точку пересечения траекторий (момент перехвата).

Начальные обозначения и координаты

Положим \(t_0 = 0\).

В момент обнаружения:

• лодка находится в точке \(X_0 = 0\),
• катер удалён от неё на \(k\): \(X_0 = k\) (отсчёт ведётся относительно лодки).

Используем полярные координаты:

• полюс — точка обнаружения лодки,
• ось \(r\) направлена через начальное положение катера.

Дистанция перехода к «обходу» полюса

Найдём расстояние \(x\), при котором катер и лодка окажутся на одном и том же радиусе относительно полюса.

За время \(t\) лодка проходит путь \(x\), а катер — \(x-k\) либо \(x+k\) (зависит от взаимного расположения относительно выбранной оси).

Разложение скорости катера и система ОДУ

Из равенства времён и соотношения скоростей получаются два режима старта:

• case = plus: \[ x_1=\frac{k}{n+1}, \quad \theta_0=0 \]
• case = minus: \[ x_2=\frac{k}{n-1}, \quad \theta_0=-\pi \]

Далее катер движется так, чтобы радиальная составляющая его скорости совпадала со скоростью лодки, а оставшаяся часть шла на «обход» направления (тангенциально).

Уравнение траектории катера

Исключая параметр времени \(t\), получаем уравнение траектории:

\[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Следствие: в полярных координатах траектория катера имеет вид экспоненциально расходящейся спирали.

Условие задачи для расчётов

Задано:

• расстояние обнаружения: \(k=20\) км,
• превосходство по скорости: \(n=5\).

Требуется: построить траектории катера и лодки и по их пересечению определить момент перехвата.

Базовый эксперимент: case = plus

Базовый эксперимент: case = plus

Наблюдения:

• катер описывает расходящуюся спираль;
• радиус \(r\) увеличивается при росте угла \(\theta\);
• лодка в полярном виде соответствует лучу (прямолинейное движение в декартовых координатах).

Базовый эксперимент: case = minus

Базовый эксперимент: case = minus

Ключевые отличия от case=plus:

• начальный радиус больше, поэтому траектория смещена дальше от полюса;
• форма спирали не меняется, меняется только масштаб и стартовая позиция.

Сканирование по параметру \(n\)

Сканирование по параметру \(n\)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент «раскрытия» спирали по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\), поэтому:

• при малых \(n\) спираль расходится быстрее;
• при больших \(n\) радиальный рост замедляется;
• траектории выглядят более «пологими» и менее агрессивно расходящимися.

Метрика scale_ratio

Введём показатель относительного масштаба:

\[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Метрика scale_ratio

Метрика scale_ratio

Интерпретация:

• при малых \(n\) значение существенно больше \(1\) — катер быстро «обгоняет» лодку по радиальному масштабу;
• с ростом \(n\) метрика заметно снижается;
• при больших \(n\) траектории становятся близкими по масштабу.

В режиме case=minus значения, как правило, выше из-за большего стартового радиуса.

Время вычислений

Время вычислений

Итоги бенчмаркинга:

• характерное время расчёта порядка \(\sim 6\times10^{-4}\) сек;
• выраженной зависимости от \(n\) не обнаружено;
• небольшие колебания связаны с адаптивным шагом интегрирования.

Выводы

1. Оптимальная стратегия катера в модели приводит к траектории вида экспоненциально расходящейся спирали в полярных координатах.
2. Параметр \(n\) задаёт темп радиального роста: чем больше \(n\), тем медленнее увеличивается \(r\) при росте \(\theta\).
3. Режим начальных условий (case) влияет на стартовый масштаб и положение, но не меняет качественную форму траектории.
4. Численное решение демонстрирует устойчивость, а вычислительные затраты слабо зависят от \(n\).