Математическое моделирование

Лабораторная работа № 2

Кенан Гашимов

Российский университет дружбы народов

2026-02-24

Вводная часть

Цель работы

Показать, как на основе математической модели выбрать стратегию поиска и перехвата при неопределённости направления движения цели.

Сюжет: в условиях тумана катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. На короткое время видимость улучшается, и лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км от катера. Затем она снова исчезает и уходит прямолинейно в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера равна \(n\) скоростям лодки. Необходимо определить траекторию катера, обеспечивающую перехват.

Задание

  1. Выполнить вывод дифференциальных уравнений при условии, что скорость катера больше скорости лодки в \(n\) раз.
  2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
  3. По графику определить точку пересечения траекторий (момент перехвата).

Теория: постановка и вывод модели

Начальные обозначения и координаты

Положим \(t_0 = 0\).

В момент обнаружения:

  • лодка находится в точке \(X_0 = 0\),
  • катер удалён от неё на \(k\): \(X_0 = k\) (отсчёт ведётся относительно лодки).

Используем полярные координаты:

  • полюс — точка обнаружения лодки,
  • ось \(r\) направлена через начальное положение катера.

Дистанция перехода к «обходу» полюса

Найдём расстояние \(x\), при котором катер и лодка окажутся на одном и том же радиусе относительно полюса.

За время \(t\) лодка проходит путь \(x\), а катер — \(x-k\) либо \(x+k\) (зависит от взаимного расположения относительно выбранной оси).

Разложение скорости катера и система ОДУ

Из равенства времён и соотношения скоростей получаются два режима старта:

  • case = plus: \[ x_1=\frac{k}{n+1}, \quad \theta_0=0 \]
  • case = minus: \[ x_2=\frac{k}{n-1}, \quad \theta_0=-\pi \]

Далее катер движется так, чтобы радиальная составляющая его скорости совпадала со скоростью лодки, а оставшаяся часть шла на «обход» направления (тангенциально).

Уравнение траектории катера

Исключая параметр времени \(t\), получаем уравнение траектории:

\[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Следствие: в полярных координатах траектория катера имеет вид экспоненциально расходящейся спирали.

Эксперимент: численное моделирование

Условие задачи для расчётов

Задано:

  • расстояние обнаружения: \(k=20\) км,
  • превосходство по скорости: \(n=5\).

Требуется: построить траектории катера и лодки и по их пересечению определить момент перехвата.

Базовый эксперимент: case = plus

Базовый эксперимент: case = plus

Наблюдения:

  • катер описывает расходящуюся спираль;
  • радиус \(r\) увеличивается при росте угла \(\theta\);
  • лодка в полярном виде соответствует лучу (прямолинейное движение в декартовых координатах).

Базовый эксперимент: case = minus

Базовый эксперимент: case = minus

Ключевые отличия от case=plus:

  • начальный радиус больше, поэтому траектория смещена дальше от полюса;
  • форма спирали не меняется, меняется только масштаб и стартовая позиция.

Параметрический анализ

Сканирование по параметру \(n\)

Сканирование по параметру \(n\)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] следует, что коэффициент «раскрытия» спирали по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\), поэтому:

  • при малых \(n\) спираль расходится быстрее;
  • при больших \(n\) радиальный рост замедляется;
  • траектории выглядят более «пологими» и менее агрессивно расходящимися.

Метрика scale_ratio

Введём показатель относительного масштаба:

\[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Метрика scale_ratio

Метрика scale_ratio

Интерпретация:

  • при малых \(n\) значение существенно больше \(1\) — катер быстро «обгоняет» лодку по радиальному масштабу;
  • с ростом \(n\) метрика заметно снижается;
  • при больших \(n\) траектории становятся близкими по масштабу.

В режиме case=minus значения, как правило, выше из-за большего стартового радиуса.

Время вычислений

Время вычислений

Итоги бенчмаркинга:

  • характерное время расчёта порядка \(\sim 6\times10^{-4}\) сек;
  • выраженной зависимости от \(n\) не обнаружено;
  • небольшие колебания связаны с адаптивным шагом интегрирования.

Итоги

Выводы

  1. Оптимальная стратегия катера в модели приводит к траектории вида экспоненциально расходящейся спирали в полярных координатах.
  2. Параметр \(n\) задаёт темп радиального роста: чем больше \(n\), тем медленнее увеличивается \(r\) при росте \(\theta\).
  3. Режим начальных условий (case) влияет на стартовый масштаб и положение, но не меняет качественную форму траектории.
  4. Численное решение демонстрирует устойчивость, а вычислительные затраты слабо зависят от \(n\).